Le paradoxe de Simpson
Une tendance qui s'inverse
Le paradoxe de Simpson décrit une situation troublante : une tendance observée séparément dans plusieurs groupes de données peut disparaître, voire s'inverser complètement, lorsqu'on additionne ces groupes en un seul ensemble.
Pour bien sentir à quel point ce retournement est contre-intuitif, rien ne vaut un exemple chiffré. Prenons une étude réelle comparant deux traitements des calculs rénaux : la chirurgie ouverte (traitement A) et une technique moins invasive (traitement B).
Sur les petits calculs : A gagne
Pour les patients ayant de petits calculs rénaux, voici le nombre de guérisons sur le nombre de patients traités :
| Traitement | Guérisons | Taux de succès |
|---|---|---|
| A — chirurgie ouverte | 81 / 87 | 93 % |
| B — technique légère | 234 / 270 | 87 % |
Sur ce groupe, le traitement A soigne une proportion nettement plus grande de patients que B.
Sur les gros calculs aussi : A gagne encore
Pour les patients ayant de gros calculs rénaux — des cas plus difficiles à traiter — voici les mêmes résultats :
| Traitement | Guérisons | Taux de succès |
|---|---|---|
| A — chirurgie ouverte | 192 / 263 | 73 % |
| B — technique légère | 55 / 80 | 69 % |
Là encore, A l'emporte sur B, avec un écart plus resserré mais réel.
Et pourtant… en additionnant tout : B gagne !
A est meilleur sur les petits calculs, meilleur sur les gros calculs. On s'attendrait donc à ce qu'il soit meilleur au total. Additionnons pourtant les deux groupes :
| Traitement | Guérisons | Taux de succès |
|---|---|---|
| A — chirurgie ouverte | 273 / 350 | 78 % |
| B — technique légère | 289 / 350 | 83 % |
D'où vient le tour de passe-passe ?
La clé se cache dans les effectifs. Les médecins n'ont pas réparti les patients au hasard entre les deux groupes : ils réservaient surtout la chirurgie ouverte (A) aux cas les plus sévères, les gros calculs — plus difficiles à guérir, quel que soit le traitement.
Résultat : A traite 263 gros calculs pour seulement 87 petits, tandis que B traite l'inverse (270 petits pour 80 gros). Le traitement A est donc jugé surtout sur ses pires cas, et B surtout sur ses meilleurs.
Une moyenne, c'est une moyenne pondérée
Un taux global n'est jamais qu'une moyenne pondérée par les effectifs de chaque sous-groupe. Si ces poids diffèrent fortement d'un traitement à l'autre, comme ici, la moyenne globale peut très bien ne plus refléter la tendance observée dans aucun des deux sous-groupes.
Avec des effectifs égaux dans chaque catégorie, pour les deux traitements, le paradoxe aurait simplement disparu et A serait resté vainqueur au global aussi.
Pas un cas isolé
Ce même mécanisme s'est retrouvé, entre autres, dans les admissions à l'université de Californie à Berkeley en 1973 : les femmes semblaient globalement moins souvent admises que les hommes, alors que département par département, elles l'étaient presque partout autant, sinon plus.
Là aussi, un facteur caché — le choix de départements plus ou moins sélectifs — suffisait à expliquer l'écart apparent, sans aucun lien direct avec le sexe des candidats.
La leçon à retenir
Avant de conclure à partir d'un chiffre agrégé, il est utile de vérifier si un facteur caché pourrait expliquer la tendance observée, en particulier quand les groupes comparés ne sont pas de tailles comparables.
Des chercheurs comme Judea Pearl ont depuis formalisé, avec les outils de l'inférence causale, les conditions précises qui permettent de savoir quand regrouper des données est légitime — et quand cela mène droit au paradoxe.
- C. R. Charig et al., Comparison of treatment of renal calculi by open surgery, percutaneous nephrolithotomy, and extracorporeal shockwave lithotripsy, BMJ, 1986.
- P. J. Bickel, E. A. Hammel, J. W. O'Connell, Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley, Science, 1975.
- J. Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2000.